Question

9．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中點(diǎn)，O是AD的中點(diǎn)，則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，過(guò)O作AB平行線為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BM與平面PCO所成角的正弦值．

解答 解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，過(guò)O作AB平行線為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（1，2，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），C（-1，2，0），M（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），O（0，0，0），
$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{OC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{3}{2}$，-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)平面PCO的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{n}=-x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，0），
設(shè)直線BM與平面PCO所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直線BM與平面PCO所成角的正弦值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．