Question

4．已知拋物線y=-2x²+x-$\frac{1}{8}$和點A（$\frac{1}{4}$，$\frac{11}{8}$）．過點F（$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）任作直線，交拋物線于B，C兩點．
（1）求△ABC的重心軌跡方程，并表示y=f（x）形式；
（2）若數(shù)列{x_k}，0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，滿足x_k+1=f（x_k）．求證：$\sum_{k=1}^{n}$x_k+1^k＜$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 （1）過點F（$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）任作直線y=k（x-$\frac{1}{4}$）-$\frac{1}{8}$，代入y=-2x²+x-$\frac{1}{8}$，整理，利用重心坐標公式，即可求△ABC的重心軌跡方程，并表示y=f（x）形式；
（2）證明0＜x_k＜$\frac{3}{8}$（k=2，3，…），再利用放縮法即可證明結論．

解答 （1）解：設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），重心G（x，y），過點F（$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）任作直線y=k（x-$\frac{1}{4}$）-$\frac{1}{8}$，
代入y=-2x²+x-$\frac{1}{8}$，整理可得2x²+（k-1）x-$\frac{k}{4}$=0，∴x₁+x₂=$\frac{1-k}{2}$，y₁+y₂=-$\frac{2{k}^{2}+1}{4}$，
∴3x=$\frac{1-k}{2}$+$\frac{1}{4}$，3y=-$\frac{2{k}^{2}+1}{4}$+$\frac{11}{8}$，
∴y=-6x²+3x；
（2）證明：∵0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，x_k+1=f（x_k）=-6x_k²+3x_k．
∴0＜x₂=-6x₁²+3x₁=-6（x₁-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{3}{8}$；
假設0＜x_k＜$\frac{3}{8}$成立，則0＜x_k+1=-3x_k（1-2x_k）≤$\frac{3}{2}•[\frac{2{x}_{k}+（1-2{x}_{k}）}{2}]^{2}$=$\frac{3}{8}$，
當且僅當x_k=$\frac{1}{4}$等號成立，
∴0＜x_k＜$\frac{3}{8}$（k=2，3，…），
∴$\sum_{k=1}^{n}$x_k+1^k≤$\sum_{k=1}^{n}$（$\frac{3}{8}$）^k=$\frac{3}{5}$[1-（$\frac{3}{8}$）ⁿ]＜$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．