Question

17．已知拋物線y²=ax上一點(diǎn)M（4，b）到焦點(diǎn)的距離為6．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若此拋物線與直線y=kx-2交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線的定義建立方程，求出a，即可求拋物線的方程；
（Ⅱ）直線y=kx-2代入拋物線y²=8x，利用AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，結(jié)合韋達(dá)定理，求出k的值

解答 解：（Ⅰ）拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{a}{4}$．
∵拋物線y²=ax上一點(diǎn)M（4，b）到焦點(diǎn)的距離為6，
∴4-（-$\frac{a}{4}$）=6，
∴a=8，
∴拋物線的方程為y²=8x；
（Ⅱ）∵直線y=kx-2與拋物線y²=8x交于兩點(diǎn)，
∴k≠0．
由直線y=kx-2與拋物線y²=8x，消去y，得k²x²-4kx-8x+4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4k+8}{{k}^{2}}$=4，解得k=-1或k=2．
而當(dāng)k=-1時，方程k²x²-4kx-8x+4=0只有一個解，即A、B兩點(diǎn)重合，
∴k≠-1．
∴k=2．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，將拋物線y²=2ax（a＞0）上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為它到其準(zhǔn)線的距離是關(guān)鍵，屬于中檔題．