Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[λm，λn]，則稱f（x）為“λ倍函數(shù)”，若f（x）=a^x（a＞1）為“1倍函數(shù)”，則a的取值范圍為（　　）

• A、（1，

  e

  ）
• B、（

  e

  ，e）
• C、（1，e

  1

  e

  ）
• D、（e

  1

  e

  ，e）

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)函數(shù)的定義判斷出方程a^x=x，有兩個不同實數(shù)解，進而分別設(shè)出f（x）=a^x，g（x）=x，分別進行求導(dǎo)，通過極值的對比建立不等式求得a的范圍．

解答： 解：∵f（x）=a^x（a＞1）為“1倍函數(shù)”，
∴f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[m，n]，
∵a＞1，
∴f（x）為增函數(shù)，
∴

f(m)=am=m f(n)=an=n

，
即方程a^x=x，有兩個不同實數(shù)解，
設(shè)f（x）=a^x，g（x）=x，
則f′（x）=a^xlna，g′（x）=1，
令f′（x₀）=g′（x₀），即ax0lna=1，
∴a x0=

1

lna

=log_ae，x₀=log_a（log_ae），
如圖可知g（x₀）＞f（x₀），
∴x₀＞a x0，即log_a（log_ae）＞log_ae，
∵a＞1，
∴l(xiāng)og_ae＞e＞0，
∴0＜log_ea＜

1

e

，
∴1＜a＜e 

1

e

，
故選：C．

點評：本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用．考查了學(xué)生分析能力，數(shù)形結(jié)合思想起到了重要作用．