Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列敘述正確的是：

 

．
①過A點(diǎn)僅能作一條直線與平面BB₁C₁C和平面DD₁C₁C都平行；
②過A點(diǎn)僅能作兩條直線與平面BB₁C₁C和平面DD₁C₁C均成45°；
③過A點(diǎn)能作四條直線與直線C₁C，C₁D₁，C₁B₁所成角都相等；
④過A點(diǎn)能作一條直線與直線BC，DD₁，A₁B₁都相交；
⑤過A、C₁點(diǎn)的平面截正方體所得截面的最大值與正方形ABCD的面積比為

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)正方體的幾何特征，結(jié)合線面平行的幾何特征，線面夾角的定義，線線夾角的定義，直線相交的幾何特征，平面截正方體所得截面的性質(zhì)，逐一判斷5個(gè)結(jié)論的真假，即可得到答案．

解答： 解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
①過A點(diǎn)僅能作一條直線AA₁與平面BB₁C₁C和平面DD₁C₁C都平行，故正確；
②過A點(diǎn)僅能作兩條直線（其中一條是正方體的面對(duì)角線AC，一條是與對(duì)角線BD平行的直線）與平面BB₁C₁C和平面DD₁C₁C均成45°，故正確；
③過A點(diǎn)能作四條直線（其中一條是正方體的體對(duì)角線AC₁，其它三條分別于體對(duì)角線BD₁，CA₁，DB₁平行），與直線C₁C，C₁D₁，C₁B₁所成角都相等，故正確；
④若過A點(diǎn)能作一條直線與直線BC相交，則直線?平面ABCD，此時(shí)不可能與DD₁，A₁B₁都相交，故錯(cuò)誤；
⑤過A、C₁點(diǎn)的平面過BB₁和DD₁中點(diǎn)時(shí)，截正方體所得截面面積取最大值時(shí)，此時(shí)截面與正方形ABCD的面積比為

2

，故正確．
故答案為：①②③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握相關(guān)空間直線與平面關(guān)系的幾何特征，是解答的關(guān)鍵．