分析 (Ⅰ)函數(shù)的定義域是(0,+∞),求出導(dǎo)數(shù),分a≤0和a>0兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號,得到單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)將要證的不等式等價轉(zhuǎn)化為F(x)>0在區(qū)間(1,2)上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求出F(x)的最小值,只要最小值大于0即可.
解答 解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞),
∴$f'(x)=\frac{x-a}{x^2}$,
①若a≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
②若a>0,當(dāng)x∈(0,a)時,f′(x)<0,f(x)在(0,a)單調(diào)遞減.
當(dāng)x∈(a,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(a,+∞)單調(diào)遞增.
(Ⅱ)證明:∵1<x<2,
∴l(xiāng)nx>0,x-1>0,
$要證\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}<\frac{1}{2}$
只需證$\frac{1}{lnx}<\frac{1}{2}+\frac{1}{x-1}$,
即證$\frac{1}{lnx}<\frac{x+1}{2(x-1)}$,
即證(x+1)lnx-2(x-1)>0,
令F(x)=(x+1)lnx-2(x-1),
則${F^/}(x)=lnx+\frac{(x+1)}{x}-2=lnx+\frac{1}{x}-1$,
由(Ⅰ)知,當(dāng)a=1時fmin(x)=f(1)=0,
∴f(x)>f(1),即$lnx+\frac{1}{x}-1≥0$.
∴F'(x)≥0,則F(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,
∴F(x)>F(1)=0,
故?x∈(1,2),不等式$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$<$\frac{1}{2}$恒成立.
點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即單調(diào)性,函數(shù)的零點及函數(shù)恒成立問題,要證F(x)>0,只要證F(x)的最小值大于0.
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A. | [-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$] | B. | [$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$] | C. | [-$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$] | D. | [$\frac{1}{4}$,$\frac{3}{4}$] |
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A. | 充分必要條件 | B. | 充分不必要條件 | ||
C. | 必要不充分條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | ?n∈N*,2n2+5n+2能被2整除是真命題 | |
B. | ?n∈N*,2n2+5n+2不能被2整除是真命題 | |
C. | ?n∈N*,2n2+5n+2不能被2整除是真命題 | |
D. | ?n∈N*,2n2+5n+2能被2整除是假命題 |
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A. | B. | C. | D. |
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