Question

3．若一個正實數(shù)能寫成$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$（n∈N^*）的形式，則稱其為“兄弟數(shù)”，求證：
（1）若x為“兄弟數(shù)”，則x²也為“兄弟數(shù)”；
（2）若x為“兄弟數(shù)”，k是給定的正奇數(shù)，則x^k也為“兄弟數(shù)”．

Answer 1

分析 （1）x=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$，x²=2n+1+2$\sqrt{{n}^{2}+n}$=$\sqrt{4{n}^{2}+4n+1}$+$\sqrt{4{n}^{2}+4n}$，可得結論；
（2）設x=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$，y=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，則xy=1，證明x^k=$\sqrt{{a}^{2}（n+1）}$+$\sqrt{^{2}n}$，即可證明x^k也為“兄弟數(shù)”．

解答 證明：（1）x為“兄弟數(shù)”，則x=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$，
x²=2n+1+2$\sqrt{{n}^{2}+n}$=$\sqrt{4{n}^{2}+4n+1}$+$\sqrt{4{n}^{2}+4n}$，
∴x²也為“兄弟數(shù)”；
（2）設x=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$，y=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，則xy=1，
x^k=$\sum_{i=0}^{k}$C_kⁱ（$\sqrt{n+1}$）^k-i（$\sqrt{n}$）ⁱ，y^k=$\sum_{i=0}^{k}$C_kⁱ（$\sqrt{n+1}$）^k-i（-$\sqrt{n}$）ⁱ，
∴x^k+y^k=$\sum_{i=0}^{k}$C_kⁱ（$\sqrt{n+1}$）^k-i（$\sqrt{n}$）ⁱ+$\sum_{i=0}^{k}$C_kⁱ（$\sqrt{n+1}$）^k-i（-$\sqrt{n}$）ⁱ
=2[C_k⁰（$\sqrt{n+1}$）^k+C_k²（$\sqrt{n+1}$）^k-2n+…+C_k^k-1$\sqrt{n+1}$$•{n}^{\frac{k-1}{2}}$]．
不妨記x^k+y^k=2a$\sqrt{n+1}$，
同理x^k-y^k=2b$\sqrt{n}$，
∴x^k=$\sqrt{{a}^{2}（n+1）}$+$\sqrt{^{2}n}$，
∵4a²（n+1）-4b²n=（x^k+y^k）²-（x^k-y^k）²=4x^ky^k=4，
∴a²（n+1）=b²n+1
∴x^k也為“兄弟數(shù)”．

點評 本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關鍵．