Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，|$\overrightarrow$|=1，且對任意實數(shù)x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|恒成立，則|$\overrightarrow{a}$|=（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 把所給的不等式平方可得x²-|$\overrightarrow{a}$|x+|$\overrightarrow{a}$|-1≥0恒成立，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得△=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4（|$\overrightarrow{a}$|-1）=${（|\overrightarrow{a}|-2）}^{2}$≤0，由此求得|$\overrightarrow{a}$|．

解答 解：由題意可得${\overrightarrow{a}}^{2}$+2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+x²${\overrightarrow}^{2}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$ 恒成立，
即x²+（2x-2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1≥0，即x²+（2x-2）|$\overrightarrow{a}$|•（-$\frac{1}{2}$）-1≥0 恒成立，
即x²-|$\overrightarrow{a}$|x+|$\overrightarrow{a}$|-1≥0恒成立，∴△=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4（|$\overrightarrow{a}$|-1）=${（|\overrightarrow{a}|-2）}^{2}$≤0，
求得|$\overrightarrow{a}$|=2，
故選：C．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，函數(shù)的恒成立問題，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．