Question

9．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．
若$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，
（1）求函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$的對稱中心；
（2）計算$f（{\frac{1}{2013}}）+$$f（{\frac{2}{2013}}）+$$f（{\frac{3}{2013}}）+$$f（{\frac{4}{2013}}）+$…$+f（{\frac{2012}{2013}}）$．

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，1）對稱，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²-x+3，
f″（x）=2x-1，
由f″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而f（$\frac{1}{2}$）=1，
故函數(shù)g（x）關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，1）對稱，
（2）由（1）知f（x）+f（1-x）=2，
∴f（$\frac{1}{2003}$）+f（$\frac{2012}{2013}$）=f（$\frac{2}{2013}$+$\frac{2011}{2013}$）=…=f（$\frac{1006}{2013}$）+f（$\frac{1007}{2013}$），
∴$f（{\frac{1}{2013}}）+$$f（{\frac{2}{2013}}）+$$f（{\frac{3}{2013}}）+$$f（{\frac{4}{2013}}）+$…$+f（{\frac{2012}{2013}}）$=2012．

點(diǎn)評 本題是新定義題，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查了函數(shù)的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是尋找函數(shù)值所滿足的規(guī)律，是中檔題