Question

11．若關(guān)于x的方程|lnx|-$\frac{a}{x}$=0恰有3個根，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 首先可判斷x∈（0，+∞），再化簡方程|lnx|-$\frac{a}{x}$=0為a=x|lnx|，從而令g（x）=x|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x≥1}\\{-xlnx，0＜x＜1}\end{array}\right.$，從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而解得．

解答 解：由題意可知x∈（0，+∞），
方程|lnx|-$\frac{a}{x}$=0可化為方程a=x|lnx|，
令g（x）=x|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x≥1}\\{-xlnx，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
①當(dāng)x≥1時，
易知g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，g（x）≥g（1）=0；
②當(dāng)0＜x＜1時，
g′（x）=-lnx-1=-（lnx+1）；
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，1）時，g′（x）＜0；
故g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{1}{e}$，1）上是減函數(shù)；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$g（x）=-$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（xlnx）=-$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{lnx}{\frac{1}{x}}$=-$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}$=0；
g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$ln$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{e}$，g（1）=0；
綜上所述，若關(guān)于x的方程|lnx|-$\frac{a}{x}$=0恰有3個根，
則0＜a＜$\frac{1}{e}$；
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．