Question

3．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足下列兩個(gè)條件：①f（x-1）圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，②$\frac{f'（x）}{x}＞0$，若f（1）＜f（lgx），則x的取值范圍為$（{0\;，\;\frac{1}{10}\;}）∪（{\;10，+∞\;}）$．

Answer 1

分析 由可得f（x）為偶函數(shù)，由②可得函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，不等式可化為|lgx|＞1，由對(duì)數(shù)函數(shù)可得．

解答 解：由①f（x-1）是定義域?yàn)镽，并且圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，
則f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故f（x）為偶函數(shù)，
由②$\frac{{{f^'}（x）}}{x}＞0$得函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（1）＜f（lgx）可化為f（1）＜f（|lgx|），
故|lgx|＞1，即lgx＜-1或lgx＞1，
解得x的取值范圍：$（{0\;，\;\frac{1}{10}\;}）∪（{\;10，+∞\;}）$．
故答案為：$（{0\;，\;\frac{1}{10}\;}）∪（{\;10，+∞\;}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．