Question

3．定義在R上的函數f（x）滿足下列兩個條件：①f（x-1）圖象關于x=1對稱，②$\frac{f'（x）}{x}＞0$，若f（1）＜f（lgx），則x的取值范圍為$（{0\;，\;\frac{1}{10}\;}）∪（{\;10，+∞\;}）$．

Answer 1

分析 由可得f（x）為偶函數，由②可得函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，不等式可化為|lgx|＞1，由對數函數可得．

解答 解：由①f（x-1）是定義域為R，并且圖象關于x=1對稱，
則f（x）圖象關于y軸對稱，故f（x）為偶函數，
由②$\frac{{{f^'}（x）}}{x}＞0$得函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴f（1）＜f（lgx）可化為f（1）＜f（|lgx|），
故|lgx|＞1，即lgx＜-1或lgx＞1，
解得x的取值范圍：$（{0\;，\;\frac{1}{10}\;}）∪（{\;10，+∞\;}）$．
故答案為：$（{0\;，\;\frac{1}{10}\;}）∪（{\;10，+∞\;}）$．

點評 本題考查函數的單調性和導數的關系，涉及對數函數的性質，屬中檔題．