Question

16．若不等式x²+2xy≤a（x²+y²）對(duì)于一切正數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得a≥$\frac{{x}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值，由x²+y²=（1-m²）x²+m²x²+y²（m＞0），運(yùn)用基本不等式，及解方程1-m²=m，可得m，進(jìn)而得到a的最小值．

解答 解：由題意可得a≥$\frac{{x}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值，
由x²+y²=（1-m²）x²+m²x²+y²（m＞0）
≥（1-m²）x²+2mxy，（當(dāng)且僅當(dāng)mx=y取得等號(hào)），
則$\frac{{x}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}+2xy}{（1-{m}^{2}）{x}^{2}+2mxy}$，
當(dāng)1-m²=m，即m=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$時(shí)，$\frac{{x}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值為$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
即有a≥$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式在最值問(wèn)題中的運(yùn)用，注意變形以及等號(hào)成立的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．