Question

1．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且（n+1）a_n-（n-1）a_n-1=0（n≥2），則a_n=$\frac{4}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 通過（n+1）a_n-（n-1）a_n-1=0（n≥2）得出后一項與前一項的比，進而利用累乘法計算即得結論．

解答 解：∵（n+1）a_n-（n-1）a_n-1=0（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$=$\frac{n-3}{n-1}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
又∵a₁=2，
∴a_n=$\frac{4}{n（n+1）}$，
故答案為：$\frac{4}{n（n+1）}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，利用累乘法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．