Question

14．如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，P是⊙O₁上一點(diǎn)，PB的延長線交⊙O₂于點(diǎn)C，PA交⊙O₂于點(diǎn)D，CD的延長線交⊙O₁于點(diǎn)N．
（1）點(diǎn)E是$\widehat{AN}$上異于A，N的任意一點(diǎn)，PE交CN于點(diǎn)M，求證：A，D，M，E四點(diǎn)共圓
（2）求證：PN²=PB•PC．

Answer 1

分析 （1）連接AB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到∠ABC=∠E，根據(jù)圓周角定理的推論得到，、∠ABC=∠ADC，從而得到∠ADC=∠E，進(jìn)一步得到A，D，M，E四點(diǎn)共圓；
（2）根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，易證明△PDN∽△PNA，得到PN²=PD•PA，再結(jié)合割線定理即可證明．

解答 證明：（1）連接AB．
∵四邊形AEPB是⊙O₁的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC=∠E．
在⊙O₂中，∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC=∠E，
∴A，D，M，E四點(diǎn)共圓；
（2）連接AN、PN．
∵四邊形ANPB是⊙O₁的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC=∠PNA．
由（1）可知，∠PDN=∠ADC=∠ABC．
∴∠PDN=∠PNA．
又∠DPN=∠NPA，
∴△PDN∽△PNA．
∴PN²=PD•PA．
又∵PD•PA=PB•PC，
∴PN²=PB•PC．

點(diǎn)評(píng) 連接公共弦，是相交兩圓常見的輔助線之一．綜合運(yùn)用圓周角定理的推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定．