Question

2．如圖所示的幾何體中，△ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：平面DBE⊥平面ABE．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)G，證明FG平行且等于CD，可得四邊形FMCD為平行四邊形，進(jìn)而得到DF∥CG，從而證明DF∥平面ABC．
（2）取AB中點(diǎn)G，由（1）可知四邊形CDFG為平行四邊形，可得CG∥DF．根據(jù)題意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，進(jìn)而得到DF⊥平面ABE，即可證明面面垂直．

解答 （1）證明：取AB中點(diǎn)G，連線(xiàn)FG、CG，F(xiàn)為BE中點(diǎn)，
∴GF∥AE，GF=$\frac{1}{2}$AE，又AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，且CD=$\frac{1}{2}$AE，
∴GF∥CD，GF=CD，
∴四邊形CDFG為平行四邊形
∴DF∥CG，又DF?平面ABC，CG?平面ABC
∴DF∥平面ABC．
（2）證明：取AB中點(diǎn)G，由（1）可知四邊形CDFG為平行四邊形，
∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE?平面ABE
∴平面ABE⊥平面ABC，交線(xiàn)為AB．
又△ABC為正三角形，G為AB中點(diǎn)
∴CG⊥AB，
∴CG⊥平面ABE又CG∥DF，
∴DF⊥平面ABE，
又DF?平面DBE，
∴平面DBE⊥平面ABE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查證明線(xiàn)面平行以及面面垂直的判定定理，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理，考查學(xué)生的推理能力．