Question

19．如圖所示，已知圓O₁與圓O₂相交于A、B兩點，過A點作圓O₁的切線交圓O₂于點C，過點B作兩圓的割線，分別交圓O₁、圓O₂于點D、E，DE與AC相交于點P．
（1）求證：AD∥EC；
（2）若PA=6，PC=2，BD=9，求PE的長．

Answer 1

分析 （1）連接AB，根據(jù)弦切角等于所夾弧所對的圓周角得到∠BAC=∠D，又根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠BAC=∠E，等量代換得到∠D=∠E，根據(jù)內(nèi)錯角相等得到兩直線平行即可；
（2）設(shè)BP=x，PE=y，根據(jù)相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出xy=12，再根據(jù)AD∥EC得$\frac{9x}{y}$=$\frac{6}{2}$，求出x，y，即可求出PE的長．

解答 （1）證明：連接AB，
∵AC是⊙O₁的切線，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（2）解：設(shè)BP=x，PE=y，
∵PA=6，PC=2，
∴xy=12①，
∵AD∥EC，
∴$\frac{DP}{PE}=\frac{AP}{PC}$，
∴$\frac{9x}{y}$=$\frac{6}{2}$②，
由①②可得x=3，y=4（負數(shù)舍去）．

點評 此題是一道綜合題，要求學(xué)生靈活運用直線與圓相切和相交時的性質(zhì)解決實際問題．本題的突破點是輔助線的連接．