Question

18．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≤x\\ x+y≤k.\end{array}\right.$（k為常數(shù)），若z=x+2y最大值為8，則k=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 由目標(biāo)函數(shù)z=x+3y的最大值為8，我們可以畫出滿足條件的平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點的坐標(biāo)，然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)k的方程組，消參后即可得到k的取值．

解答 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=k}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{k}{2}$，$\frac{k}{2}$），
將z=x+2y轉(zhuǎn)化為：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
顯然直線過A（$\frac{k}{2}$，$\frac{k}{2}$）時，z最大，
z的最大值是：$\frac{k}{2}$+k=8，解得：k=$\frac{16}{3}$，
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點評 如果約束條件中含有參數(shù)，我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點，然后得到一個含有參數(shù)的方程（組），代入另一條直線方程，消去x，y后，即可求出參數(shù)的值．