13.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=qan+$\frac{n}{(-2)^{n}}$(n∈N*
(1)若a1,a2,a3成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)q的值;
(2)若|q|≤1,求證:|an|<3.

分析 (1)由遞推公式求出前三項(xiàng),a1,a2,a3成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)q的值.
(2)由已知|an+1|≤${a}_{n}+\frac{n}{{2}^{n}}$,從而${a}_{n}≤1+\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$,由此利用錯(cuò)位相減法以證明|q|≤1時(shí),|an|<3.

解答 解:(1)∵數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=qan+$\frac{n}{(-2)^{n}}$(n∈N*),
∴${a}_{2}=q-\frac{1}{2}$,${a}_{3}=q(q-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}$,
∵a1,a2,a3成等比數(shù)列,
∴$(q-\frac{1}{2})^{2}=1×[q(q-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}]$,
解得q=-$\frac{1}{2}$
∴實(shí)數(shù)q的值為-$\frac{1}{2}$.
證明:(2)∵a1=1,an+1=qan+$\frac{n}{(-2)^{n}}$(n∈N*),|q|≤1,
∴|an+1|≤${a}_{n}+\frac{n}{{2}^{n}}$,
∴${a}_{n}≤1+\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$,①
$\frac{1}{2}$an≤$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n}}$,②
①-②:$\frac{1}{2}{a}_{n}$≤1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{2}^{n-2}})}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{n-1}{{2}^{n}}$,
∴an≤3-$\frac{2n+2}{{2}^{n}}$<3.
∴|q|≤1時(shí),|an|<3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法,考查數(shù)列的第n項(xiàng)的絕對(duì)值小于3的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等比數(shù)列的性質(zhì)和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.

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