Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+lgx，當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，總有f（9）-f（2kx-x²）≥0，則實(shí)數(shù)k的最大值為3．

Answer 1

分析 易知f（x）=x²+lgx在[2，4]單調(diào)遞增，f（9）-f（2kx-x²）≥0等價(jià)于k≤$\frac{x}{2}$+$\frac{9}{2x}$，在[2，4]上恒成立，根據(jù)基本不等式即可求出k的最值．

解答 解：易知f（x）=x²+lgx在[2，4]單調(diào)遞增，
∵f（9）-f（2kx-x²）≥0，
∴9≥2kx-x²，在[2，4]上恒成立，
∴k≤$\frac{x}{2}$+$\frac{9}{2x}$，在[2，4]上恒成立，
∵$\frac{x}{2}$+$\frac{9}{2x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{9}{2x}}$=3，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{2}$=$\frac{9}{2x}$即x=3時(shí)取等號(hào)，
∴k≤3，
∴則實(shí)數(shù)k的最大值為3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)的取值范圍以及基本不等式，關(guān)鍵是分離參數(shù)，屬于中檔題．