Question

7．已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為正方形，AA₁=2AB，E為AA₁的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD₁所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線BE與CD₁所成角的余弦值．

解答 解：∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為正方形，AA₁=2AB，E為AA₁的中點(diǎn)，
∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=1，則B（1，1，0），E（1，0，1），C（0，1，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-1，2），
設(shè)異面直線BE與CD₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{C{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴異面直線BE與CD₁所成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．