Question

12．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²（x-$\frac{π}{4}$）-1，x∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a（a＞0）對(duì)稱，求a的最小值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-log₂m在[0，$\frac{5π}{12}$]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的倍角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出函數(shù)的對(duì)稱軸即可a的最小值；
（2）由g（x）=0，求出函數(shù)f（x）在[0，$\frac{5π}{12}$]上取值范圍，結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²（x-$\frac{π}{4}$）-1
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+cos（2x-$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，
即函數(shù)的對(duì)稱軸為x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，
∵y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a（a＞0）對(duì)稱，
∴當(dāng)k=0時(shí)，a有最小值$\frac{π}{12}$．
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-log₂m在[0，$\frac{5π}{12}$]上有零點(diǎn)，
即g（x）=f（x）-log₂m=0在[0，$\frac{5π}{12}$]上有解，
即f（x）=log₂m在[0，$\frac{5π}{12}$]上有解，
當(dāng)0≤x≤$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$，
即-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，-1≤2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤2，
由-1≤log₂m≤2，
解得$\frac{1}{2}$≤m≤4，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．