Question

12．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，求x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，求f（x）的最大值，f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后得到g（x），求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanx的值，可得x的值．
（2）利用兩個向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)g（x）的單調(diào)調(diào)性．

解答 解：（1）根據(jù)向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx），
再根據(jù)|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，可得3sin²x+sin²x=cos²x+sin²x，解得tanx=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
再根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得x=$\frac{π}{6}$．
（2）∵函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，f（x）∈[0，$\frac{3}{2}$]．
f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后得到g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得 kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，故函數(shù)g（x）的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈z．
再結(jié)合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函數(shù)g（x）的減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
同理求得函數(shù)g（x）的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．