Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，PA=AB=1，PA⊥平面ABCD，E為棱PB上一點，PD∥平面ACE，過E作PC的垂線，垂足為F．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）求三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，交AC于O，連結(jié)OE，由PD∥平面ACE可知OE∥PD，故E為PB中點，從而AE⊥PB，由BC⊥平面PAB可知BC⊥AE，推出AE⊥平面PBC，得到AE⊥PC，結(jié)合PC⊥EF，推出PC⊥平面AEF；
（2）由勾股定理求出AE，PB，PC，根據(jù)Rt△PEF≌Rt△PCB，列出比例式求出EF，PF，代入體積公式計算．

解答 （1）證明連結(jié)BD，交AC于O，連結(jié)OE，
∵底面四邊形ABCD是正方形，∴O是BD中點．
∵PD∥平面ACE，PD?平面PBD，平面PBD∩平面ACE=OE，
∴PD∥OE，
∴$\frac{BE}{BP}=\frac{BO}{BD}=\frac{1}{2}$，∴E是PB的中點．
∵PA=AB，∴AE⊥PB．
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∵AE?平面PAB，
∴AE⊥BC，又PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，∵PC?平面PBC，
∴AE⊥PC，又EF⊥PC，AE?平面AEF，EF?平面AEF，AE∩EF=E，
∴PC⊥平面AEF．
（2）∵PA=AB=1，底面ABCD是正方形，
∴PB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{3}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵Rt△PEF≌Rt△PCB，∴$\frac{PE}{PC}=\frac{PF}{PB}=\frac{EF}{BC}$，∴PF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，EF=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}×AE×EF$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
∴三棱錐P-AEF的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△AEF}×PF$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{12}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{36}$．

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．