Question

5．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₇=49；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且2b_n-T_n=2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=a_n•b_n（n∈N₊），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和P_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式可得a_n．利用遞推關(guān)系可得b_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=5，S₇=49，∴a₁+2d=5，7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=49，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵2b_n-T_n=2，∴n=1時(shí)，2b₁-b₁=2，解得b₁=2．
n≥2時(shí)，2b_n-1-T_n-1=2，可得：2b_n-2b_n-1+b_n=0，化為：$_{n}=\frac{2}{3}_{n-1}$．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為$\frac{2}{3}$．
∴$_{n}=2×（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
（2）c_n=a_n•b_n=（4n-2）×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和P_n=$2+6×（\frac{2}{3}）$+$10×（\frac{2}{3}）^{2}$+…+（4n-2）×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
$\frac{2}{3}{P}_{n}$=2×$\frac{2}{3}$+6×$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+（4n-6）×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+（4n-2）×$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴$\frac{1}{3}{P}_{n}$=2+4$[\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+…+（\frac{2}{3}）^{n-1}]$-（4n-2）×$（\frac{2}{3}）^{n}$=2+4×$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{2}{3}}$-（4n-2）×$（\frac{2}{3}）^{n}$=10-（4n+10）×$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴P_n=30-（12n+30）×$（\frac{2}{3}）^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．