Question

15．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）求證AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大�。�
（3）試在線段BC上確定一點P，使得棱錐P-BDF的體積為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD交AC于N，連結(jié)EN，證明四邊形ANEM是平行四邊形，得出AM∥EN從而得出AM∥平面BDE；
（2）利用面面垂直的性質(zhì)證明FA⊥平面ABCD，以A為原點距離空間直角坐標系，求出兩平面的法向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$，則二面角的余弦值等于|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|；
（3）設(shè)BP=x，代入棱錐的體積公式求出x得出P的位置．

解答 證明：（1）連結(jié)BD交AC于N，連結(jié)EN，
∵四邊形ACEF是矩形，
∴AN$\stackrel{∥}{=}$EM，
∴四邊形ANEM是平行四邊形，
∴AM∥EN，
又AM?平面BDE，EN?平面BDE，
∴AM∥平面BDM．
（2）∵四邊形ACEF是矩形，∴FA⊥AC，
∵平面ACEF⊥ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴AF⊥平面ABCD．
以A為原點，以AB，AD，AF為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：
則B（$\sqrt{2}$，0，0），D（0，$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)（0，0，1），
∴$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BF}$=（-$\sqrt{2}$，0，1）．
顯然平面ADF的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
設(shè)平面BDF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\\{-\sqrt{2}x+z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，∴＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{3}$．
∵二面角A-DF-B為銳角，∴二面角A-DF-B為$\frac{π}{3}$．
（3）設(shè)BP=x，則V_P-BDF=V_F-BPD=$\frac{1}{3}{S}_{△BPD}•AF$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•x•\sqrt{2}•1$=$\frac{1}{6}$．
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴當P為BC的中點時，棱錐P-BDF的體積為$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，二面角的計算，棱錐的體積計算，屬于中檔題．