Question

19．已知函數f（x）=sinx-$\frac{x}{2}$．當0＜x＜1時，不等式f（x）•log₂（x-2^m+$\frac{5}{4}$）＞0恒成立．則實數m得到取值范圍是（-∞，-2]．

Answer 1

分析 求函數的導數，判斷函數的單調性，根據不等式恒成立進行轉化，利用參數分離法 轉化求最值問題即可．

解答 解：函數f′（x）=cosx-$\frac{1}{2}$，當0＜x＜1時，f′（x）＞0，則函數f（x）在0＜x＜1上為增函數，
此時f（x）＞f（0）=0，
∴不等式f（x）•log₂（x-2^m+$\frac{5}{4}$）＞0等價為log₂（x-2^m+$\frac{5}{4}$）＞0成立，
即x-2^m+$\frac{5}{4}$＞1恒成立，即x＞2^m-$\frac{1}{4}$，
∵0＜x＜1，∴2^m-$\frac{1}{4}$≤0，即2^m≤$\frac{1}{4}$，
得m≤-2．
故答案為：（-∞，-2]

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，求函數的導數，判斷函數的單調性，利用參數分離法轉化為求最值是解決本題的關鍵．