Question

4．在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊是a，b，c，則下列說法正確的有②③⑤（寫出所有正確命題的編號）．
①若$a=2，b=2\sqrt{3}，A=30°$，則B=60°
②若sinA＞sinB，則a＞b，反之也成立
③若A=60°且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=2$，則△ABC的面積是$\sqrt{3}$
④若b²=ac且$cos（A-C）=\frac{3}{2}-cosB$，則$B=\frac{π}{3}或B=\frac{2π}{3}$
⑤若c²sin²B+b²sin²C=2bccosBcosC，則△ABC一定是直角三角形．

Answer 1

分析 利用正弦定理進(jìn)行分析判斷．

解答 解：對于①，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，∴sinB=$\frac{bsinA}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=60°或B=120°，故①錯誤．
對于②，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$得$\frac{a}=\frac{sinA}{sinB}$，故②正確．
對于③，∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=bccosA=2，∴bc=4，
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，故③正確．
對于④，∵$cos（A-C）=\frac{3}{2}-cosB$=$\frac{3}{2}+cos（A+C）$，
∴cosAcosC+sinAsinC=$\frac{3}{2}$+cosAcosC-sinAsinC，
∴sinAsinC=$\frac{3}{4}$．
∵b²=ac，∴sin²B=sinAsinC=$\frac{3}{4}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$．
若B=$\frac{2π}{3}$，則cos（A-C）=$\frac{3}{2}$-cosB=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=2＞1，故④錯誤．
對于⑤，∵c²sin²B+b²sin²C=2bccosBcosC，
∴sin²Csin²B+sin²Bsin²C=2sinBsinCcosBcosC，
∴sinBsinC=cosBcosC，∴cosBcosC-sinBsinC=0，
∴cosA=0，即A=90°．故⑤正確．
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．