Question

20．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，當-1≤x≤1時，有-1≤f（x）≤1，求證：-2≤x≤2時，有-7≤f（x）≤7．

Answer 1

分析 函數(shù)的圖象開口可能向上或者向下，不論本題是那種情況，都有區(qū)間兩端點的函數(shù)值小于等于1，|f（0）|≤1，在這些條件下，用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合放縮法證明．

解答 證明：由已知條件知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，定義域為[-1，1]
∴|c|≤1，|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1；
∵|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a-b+c）-3c|≤|=|3（a+b+c）|+|（a-b+c）|+|-3c|≤3+1+3=7
∴|f（2）|≤7，
∴-2≤x≤2時，有-7≤f（x）≤7．

點評 本考點考查二函數(shù)的最值及其幾何意義，不等式的性質(zhì)，以及不等式證明時常用的技巧放縮法的技巧．