Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin$\frac{πx}{2}$（x∈R），任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對(duì)稱軸方程；
（2）當(dāng)t∈[-2，0]時(shí)，求函數(shù)g（t）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)周期性和對(duì)稱性的性質(zhì)即可可先求出函數(shù)f（x）的最小正周期為4，
（2）由周期性得到g（t+4）=M_t-m_t=g（t），然后探索-2≤t≤0的函數(shù)f（x）的最值，以及g（t）的解析式，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4，由$\frac{πx}{2}$=kπ+$\frac{π}{2}$得x=2k+1，k∈Z，即對(duì)稱軸方程為x=2k+1，k∈Z．
（2）畫出函數(shù)f（x）的部分圖象，如右圖，
當(dāng)-2≤t＜-$\frac{3}{2}$，時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為-1，最大值為f（t）=sin$\frac{πt}{2}$，
∴g（t）=1+sin$\frac{πt}{2}$；
當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤t＜-1時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為-1，最大值為f（t+1）=sin$\frac{πt+π}{2}$=cos$\frac{πt}{2}$，
∴g（t）=1+cos$\frac{πt}{2}$，
當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為f（t）=sin$\frac{πt}{2}$，最大值為f（t+1）=sin$\frac{πt+π}{2}$=cos$\frac{πt}{2}$，
∴g（t）=cos$\frac{πt}{2}$-sin$\frac{πt}{2}$．
即g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{1+sin\frac{πt}{2}，}&{-2≤t＜-\frac{3}{2}}\\{1+cos\frac{πt}{2}，}&{-\frac{3}{2}≤t＜-1}\\{cos\frac{πt}{2}-sin\frac{πt}{2}，}&{-1≤t≤0}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的周期性以及應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)寫出函數(shù)式，綜合性較強(qiáng)，難度較大．