Question

10．函數(shù)f（x）=5$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{10-2x}$的最大值為（　�。�

• A． $6\sqrt{3}$
• B． $5\sqrt{3}$
• C． $3\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{10-2x≥0}\end{array}\right.$，可得函數(shù)f（x）的定義域為[1，5]．f′（x）=$\frac{5\sqrt{10-2x}-2\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}\sqrt{10-2x}}$，令5$\sqrt{10-2x}$-2$\sqrt{x-1}$=0，解得x，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{10-2x≥0}\end{array}\right.$，解得1≤x≤5，∴函數(shù)f（x）的定義域為[1，5]．
f′（x）=$\frac{5}{2\sqrt{x-1}}$+$\frac{-1}{\sqrt{10-2x}}$=$\frac{5\sqrt{10-2x}-2\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}\sqrt{10-2x}}$，
令5$\sqrt{10-2x}$-2$\sqrt{x-1}$=0，解得x=$\frac{127}{27}$．
∴函數(shù)f（x）在$[1，\frac{127}{27}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{127}{27}，5]$上單調(diào)遞減．
可知：當(dāng)x=$\frac{127}{27}$時，函數(shù)f（x）取得最大值=5$\sqrt{\frac{127}{27}-1}$+$\sqrt{10-2×\frac{127}{27}}$=6$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．