Question

18．如圖，△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點D，⊙O過點A，且和BC切于點D，和AB，AC分別交于點E、F，設EF交AD于點G，連接DF．
（1）求證：EF∥BC；
（2）已知DF=2，AG=3，求$\frac{AE}{EB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由切線的性質知∠4=∠2，再根據角平分線的性質及平行線的判定定理求出EF∥BC；
（2）因為EF∥BC，求出△ADF∽△FDG，根據其相似比即可解答．

解答 （1）證明：∵⊙O切BC于D，
∴∠4=∠2，
又∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴EF∥BC；
（2）解：∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
又∵∠5=∠5，
∴△ADF∽△FDG，
∴$\frac{AD}{FD}=\frac{FD}{GD}$，
設GD=x，則$\frac{3+x}{2}=\frac{2}{x}$，
解得x₁=1，x₂=-4，經檢驗x₁=1，x₂=-4為所列方程的根，
∵x₂=-4＜0應舍去，
∴GD=1由（1）已證EF∥BC，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AG}{GD}$=3．

點評 主要考查的是相似三角形判定和性質的應用，切線的性質，以及解分式方程．