Question

11．已知x²=a²+b²，y²=c²+d²，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd．

Answer 1

分析 將x=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，y=$\sqrt{{c}^{2}{+d}^{2}}$代入不等式展開，根據(jù)基本不等式的性質證明即可．

解答 證明：∵x²=a²+b²，y²=c²+d²，且所有字母均為正，
∴xy=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$•$\sqrt{{c}^{2}{+d}^{2}}$
=$\sqrt{{{a}^{2}c}^{2}{{+b}^{2}c}^{2}{{+a}^{2}d}^{2}{{+b}^{2}d}^{2}}$
≥$\sqrt{{{a}^{2}c}^{2}+2abcd{{+b}^{2}d}^{2}}$
=$\sqrt{{（ac+bd）}^{2}}$
=ac+bd．

點評 本題考查了基本不等式的性質，是一道基礎題．