Question

19．已知復(fù)數(shù)z₁滿足（z₁+3）（1-2i）=8+4i（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z₂的虛部為-3，若z₁•z₂是純虛數(shù)．
（1）求z₁和z₂；
（2）若復(fù)數(shù)|z|=2，求|z-z₂|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接由（z₁+3）（1-2i）=8+4i求出${z}_{1}=\frac{8+4i}{1-2i}-3$，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡則z₁可求．
設(shè)z₂=a-3i，a∈R，再由z₁•z₂是純虛數(shù)得到實(shí)部等于零虛部不等于零，求出a的值，則z₂可求．
（2）設(shè)出z=x+yi，（x，y∈R），再由|z|=2，求出|z-z₂|的值，幾何意義是復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z（x，y）到復(fù)數(shù)
z₂對應(yīng)的點(diǎn)Z₂（4，-3）的距離，然后數(shù)形結(jié)合易知|z-z₂|的最大值是OZ₂+2，|z-z₂|的最小值是OZ₂-2，又OZ₂=5，即可求出|z-z₂|的取值范圍．

解答 解：（1）由（z₁+3）（1-2i）=8+4i，
得${z_1}=\frac{8+4i}{1-2i}-3=\frac{（8+4i）（1+2i）}{（1-2i）（1+2i）}-3=\frac{{8+16i+4i+8{i^2}}}{5}-3=4i-3=-3+4i$．
設(shè)z₂=a-3i，a∈R，則z₁•z₂=（-3+4i）（a-3i）=（12-3a）+（4a+9）i，
∵z₁•z₂是純虛數(shù)，
∴12-3a=0，4a+9≠0，∴a=4．
∴z₂=4-3i．
（2）設(shè)z=x+yi，（x，y∈R），$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=2$，x²+y²=4，
$|z-{z_2}|=|x+yi-4+3i|=\sqrt{{{（x-4）}^2}+{{（y+3）}^2}}$，
幾何意義是復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z（x，y）到復(fù)數(shù)z₂對應(yīng)的點(diǎn)Z₂（4，-3）的距離，
而Z（x，y）滿足x²+y²=4，點(diǎn)Z（x，y）在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，
數(shù)形結(jié)合易知|z-z₂|的最大值是OZ₂+2，|z-z₂|的最小值是OZ₂-2，又OZ₂=5，
∴|z-z₂|取值范圍是[3，7]．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．