Question

20．已知圓C：（x-1）²+y²=1，直線l：x+2y-5=0，點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線l上，若存在圓C上的兩點(diǎn)M，N，使得∠MPN=60°，則x₀的取值范圍是（　�。�

• A． [1，2]
• B． $[{1，\frac{13}{5}}]$
• C． $[{\frac{1}{2}，2}]$
• D． $[{\frac{1}{2}，\frac{13}{5}}]$

Answer 1

分析 從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大的角，不妨設(shè)切線為PE，PF，則∠EPF為60°時(shí)，∠ECF為120°，所以CP的長度為2，故可確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍．

解答 解：由題意，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大的角，
不妨設(shè)切線為PE，PF，則∠EPF為60°時(shí)，∠ECF為120°，
∴在Rt△PEC中，PC=2．
故問題轉(zhuǎn)化為在直線x+2y-5=0上找到一點(diǎn)，使它到點(diǎn)C的距離為2．
設(shè)P（x₀，2.5-0.5x₀），
∵C（1，0），
∴|PC|²=（x₀-1）²+（2.5-0.5x₀）²=4
∴x₀=1或$\frac{13}{5}$．
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍是[1，$\frac{13}{5}$]
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是明確從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大的角．