Question

3．如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面PAD⊥底面 ABCD，E在棱PD上，且AE⊥PD．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面PCD；
（Ⅱ）已知AE與底面ABCD所成角為60°，求二面角C-BE-D的正切值．

Answer 1

分析 （I）平面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD，可得CD⊥平面PAD，CD⊥AE，又AE⊥PD，可得AE⊥平面PCD，即可證明；
（II）在平面PAD中，過點(diǎn)A作AD的垂線，作為z軸，以AB為x軸，AD為y軸．建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，由平面PAD⊥底面ABCD，可得∠EAD即為AE與底面ABCD所成角為60°，$E（0，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．設(shè)平面BED的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．同理利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，可得平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$，由$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出二面角C-B E-D的正切值．

解答 （I）證明：∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE，
又AE⊥PD，
∴AE⊥平面PCD．
∵AE?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面PCD；
（II）解：在平面PAD中，過點(diǎn)A作AD的垂線，作為z軸，以AB為x軸，AD為y軸．建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．
∵平面PAD⊥底面ABCD，
∴∠EAD即為AE與底面ABCD所成角為60°，∴$E（0，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{BE}$=$（-2，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
設(shè)平面BED的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=$（1，1，\sqrt{3}）$．
同理利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，可得平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，0，4）$，
由$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{19}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{19}}$，
∴二面角C-B E-D的正切值為$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、利用法向量求空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．