Question

已知函數(shù)f（x）=

1

4

（sin²x-cos²x+

3

）-

3

2

sin²（x-

π

4

），x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間：
（ 2）設(shè)△ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為a、b、c，且f（B）=

1

2

，b=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)f（B）的值求得B，然后利用余弦定理建立關(guān)于a和c的等式，利用基本不等式求得ac的范圍，最后利用三角形面積公式即可求得三角形面積的最大值．

解答： 解：（1）f(x)=

1

4

(

3

-cos2x)-

3

2

×

1-cos(2x- π 2 )

2

=

1

2

(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)=

1

2

sin(2x-

π

6

)，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（2）f(B)=

1

2

，
∴sin(2B-

π

6

)=1∴B=

π

3

，
在△ABC中，由余弦定理：4=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

4

×4=

3

∴△ABC面積的最大值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合掌握．