Question

18．已知拋物線C：y=$\frac{1}{2}$x²與直線l：y=kx-1（k為常數(shù)）沒有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且P的橫坐標(biāo)為x₀，Q（k，1）為定點(diǎn)
（1）求拋物線C的準(zhǔn)線方程；
（2）若點(diǎn)P與定點(diǎn)Q的連線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，求證：|PM|•|ON|=|PN|•|QM|

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=2y，由此能求出拋物線C的準(zhǔn)線方程．
（2）P（x₀，kx₀-1），PQ的方程為y=$\frac{k{x}_{0}-2}{{x}_{0}-k}$（x-k）+1，與拋物線方程y=$\frac{1}{2}$x2聯(lián)立，得x²-$\frac{2k{x}_{0}-4}{{x}_{0}-k}$x+$\frac{（2{k}^{2}-2）{x}_{0}-2k}{{x}_{0}-k}$=0，由此利用韋達(dá)定理能證明|PM|•|ON|=|PN|•|QM|．

解答 解：（1）∵拋物線C：y=$\frac{1}{2}$x²，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=2y，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{1}{2}$．
證明：（2）∵直線l：y=kx-1（k為常數(shù)），設(shè)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且P的橫坐標(biāo)為x₀，Q（k，1）為定點(diǎn)，
∴P（x₀，kx₀-1），
PQ的方程為y=$\frac{k{x}_{0}-2}{{x}_{0}-k}$（x-k）+1，
與拋物線方程y=$\frac{1}{2}$x2聯(lián)立，消去y，得
x²-$\frac{2k{x}_{0}-4}{{x}_{0}-k}$x+$\frac{（2{k}^{2}-2）{x}_{0}-2k}{{x}_{0}-k}$=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{2k{x}_{0}-4}{{x}_{0}-k}$，x₁x₂=$\frac{（2{k}^{2}-2）{x}_{0}-2k}{{x}_{0}-k}$，①
要證|PM|•|ON|=|PN|•|QM|，只需證明2x₁x₂-（k+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0，②
把①代入②：
2x₁x₂-（k+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀
=$\frac{2（2{k}^{2}-2）{x}_{0}-4k}{{x}_{0}-k}$-（x+x₀）•$\frac{2k{x}_{0}-4}{{x}_{0}-k}$+2kx₀
=$\frac{2（2{k}^{2}-2）{x}_{0}-4k-（k+{x}_{0}）（2k{x}_{0}-4）+2k{x}_{0}（{x}_{0}-k）}{{x}_{0}-k}$=0，
∴|PM|•|ON|=|PN|•|QM|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的準(zhǔn)線方程的求法，考查兩組線段乘積相等的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)、韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．