Question

3．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，經(jīng)過橢圓的左頂點A（-3，0）作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于點D，交y軸與點E．
（1）求橢圓C的方程；　
（2）已知P為線段AD的中點，OM∥l，并且OM交橢圓C于點M．
（i）是否存在定點Q，對于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（ii）求$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率及左頂點坐標(biāo)，能求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）（i）直線l的方程為y=k（x+3），與橢圓聯(lián)立，得（x+3）[（9k²+1）x+27k²-3]=0，由此利用韋達定理、直線垂直，結(jié)合題意能求出結(jié)果．
（ii）OM的方程可設(shè)為y=kx，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得M點的橫坐標(biāo)為x=$±\frac{3}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$，由OM∥l，把$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$轉(zhuǎn)化為點的橫坐標(biāo)的關(guān)系求得答案．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，左頂點A（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\\{a=3}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$．
（2）（i）直線l的方程為y=k（x+3），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x+3）}\end{array}\right.$，得（9k²+1）x²+54k²x+81k²-9=0，
整理，得：（x+3）[（9k²+1）x+27k²-3]=0，
∴${x}_{1}=-3，{x}_{2}=\frac{-27{k}^{2}+3}{9{k}^{2}+1}$，
當(dāng)x=$\frac{-27{k}^{2}+3}{9{k}^{2}+1}$時，y=$\frac{6k}{9{k}^{2}+1}$，
∴D（$\frac{3-27{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$，$\frac{6k}{1+9{k}^{2}}$），
∵點P為AD的中點，∴P的坐標(biāo)為（$\frac{-27{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}，\frac{3k}{1+9{k}^{2}}$），
∴${k}_{OP}=-\frac{1}{9k}$，（k≠0），
直線l的方程為y=k（x+3），令x=0，得E（0，3k），
假設(shè)存在定點Q（m，n），（m≠0），使得OP⊥EQ，
則k_OPk_EQ=-1，即-$\frac{1}{9k}•\frac{n-3k}{m}=-1$恒成立，
∴（9m+3）k-n=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9m+3=0}\\{-n=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴定點Q的坐標(biāo)為Q（-$\frac{1}{3}$，0）．
（ii）∵OM∥l，∴OM的方程可設(shè)為y=kx，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得M點的橫坐標(biāo)為x=$±\frac{3}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$，
由OM∥l，得$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$=$\frac{|{x}_{D}-{x}_{A}|+|{x}_{E}-{x}_{A}|}{|{x}_{M}|}$
=$\frac{{x}_{D}-2{x}_{A}}{{x}_{M}}$=$\frac{\frac{3-27{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}+6}{\frac{3}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}}$=$\frac{3+9{k}^{2}}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+9{k}^{2}}+\frac{2}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$$≥2\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{1+9{k}^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$，即k=$±\frac{1}{3}$時取等號，
∴當(dāng)k=$±\frac{1}{3}$時，$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的定點是否存在的判斷與求法，考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達定理、直線垂直、橢圓性質(zhì)的合理運用．