Question

如果存在一個非零常數(shù)T，使得定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x-T）=Tf（x）對任意實數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)f（x）為“T周轉(zhuǎn)函數(shù)”，現(xiàn)有如下命題：
①當T=-1時，T周轉(zhuǎn)函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=x一定是一個T周轉(zhuǎn)函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=sinπx一定是一個T周轉(zhuǎn)函數(shù)；
④若f（x）為一個2周轉(zhuǎn)函數(shù)，且x∈[0，2]，f（x）=1-|x-1|，則函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點的個數(shù)為5．
其中的真命題有

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,閱讀型,新定義,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由新定義可得f（x+1）=-f（x），再將x換成x+1，即可判斷①；根據(jù)新定義，即可判斷②；
考慮T=1，T=-1，由新定義，即可判斷③；函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點個數(shù)等于函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=

1

x

圖象交點的個數(shù)，在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)圖象，通過圖象觀察，即可判斷④．

解答： 解：對于①，當T=-1時，f（x+1）=-f（x），
即有f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
T周轉(zhuǎn)函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，則①對；
對于②，f（x）=x，f（x-T）=x-T，Tf（x）=xT，
f（x-T）=Tf（x）對任意實數(shù)x不成立．則②錯；
對于③，函數(shù)f（x）=sinπx，f（x-T）=sinπ（x-T），Tf（x）=Tsinπx，
當T=-1時，f（x+1）=-sinπx=-f（x）=-sinπx，
當T=1時，f（x-1）=sinπ（x-1）=-sinπx≠f（x），則③錯；
對于④，f（x）為一個2周轉(zhuǎn)函數(shù)，且x∈[0，2]，f（x）=1-|x-1|，則f（x-2）=2f（x），
則函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點個數(shù)等于函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=

1

x

圖象交點的個數(shù)，
在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)圖象如下圖所示：
由圖可知函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=

1

x

圖象共有6個交點，則④對．
故答案為：①④

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查函數(shù)的周期、函數(shù)的零點注意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的能力，以及運算能力，屬于中檔題．