Question

已知函數(shù)f（x）=

1-(x-1)2 ，0≤x＜2 f(x-2)，x≥2

，若對于正數(shù)k_n（n∈N^*），直線y=k_nx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有2n+1個不同交點，則數(shù)列{k_n²}的前n項和為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：可知y=f（x）的圖象是一系列半徑為1的半圓，由題意知直線y=k_nx與第n+1個半圓相切，由此可求kn2，然后利用裂項相消法可求答案．

解答： 解：函數(shù)y=f（x）的圖象是一系列半徑為1的半圓，
∵直線y=k_nx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有2n+1個不同交點，
∴直線y=k_nx與第n+1個半圓相切，∴

(2n+1)kn

1+ k 2 n

=1，

k

2 n

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

k

2 1

+

k

2 2

+…+

k

2 n

=

n

4n+4

．
故答案為：

n

4n+4

．

點評：該題考查數(shù)列的求和、直線與圓的位置關(guān)系，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點．