Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+3x+3-a•e^x（a為非零實數(shù)），若f（x）有且僅有一個零點，則a的取值范圍為（0，e）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 令f（x）=0得a=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，求出g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值，令a=g（x）只有一解得出a的范圍．

解答 解：令f（x）=0得x²+3x+3=ae^x，∴a=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{-{x}^{2}-x}{{e}^{x}}$，
令g′（x）=0得x=-1或x=0．
∴當(dāng)x＜-1或x＞0時，g′（x）＜0，當(dāng)-1＜x＜0時，g′（x）＞0．
∴g（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=-1時，g（x）取得極小值g（-1）=e，當(dāng)x=0時，g（x）取得極大值g（0）=3，
∵f（x）只有一個零點，∴a=g（x）只有一解．
∵$\underset{lim}{x→-∞}$g（x）=+∞，$\underset{lim}{x→+∞}$g（x）=0，
∴0＜a＜e或a＞3．
故答案為（0，e）∪（3，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性，極值與零點個數(shù)的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．