Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則下列命題中正確的是（1），（2），（3）．（填寫所有正確命題的編號）
（1）S_n=an²+bn（a，b∈R），則{a_n}為等差數(shù)列；（2）若S_n=1+（-1）ⁿ⁺¹，則{a_n}是等比數(shù)列；（3）{a_n}為等比數(shù)列，且$\underset{lim}{n→∞}$S_n=2012，則$\underset{lim}{n→∞}$a_n=0．

Answer 1

分析 對于（1），（2）運用數(shù)列的通項和求和的關(guān)系：），a₁=S₁，n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，即可判斷；
對于（3），由等比數(shù)列的求和公式和數(shù)列極限的定義和運算性質(zhì)，即可判斷．

解答 解：對于（1），a₁=S₁=a+b，
n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=an²+bn-（a（n-1）²+b（n-1））=2an+b-2a，
對n=1也成立，則{a_n}為首項為a+b，公差為2a的等差數(shù)列；
對于（2），a₁=S₁=2，
n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=1+（-1）ⁿ⁺¹-（1+（-1）ⁿ））=-2•（-1）ⁿ，
對n=1也成立，則{a_n}為首項為2，公比為-1的等比數(shù)列；
對于（3），由題意可得q不為1，由$\underset{lim}{n→∞}$S_n=2012，即為$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2012，
可得0＜|q|＜1，$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=2012，
則$\underset{lim}{n→∞}$a_n=則$\underset{lim}{n→∞}$a₁q^n-1=$\underset{lim}{n→∞}$2012（1-q）•q^n-1=0成立．
故答案為：（1），（2），（3）．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查數(shù)列極限的求法，屬于中檔題．