Question

6．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，PQ是異面直線A₁D與AC的公垂線，則直線PQ與BD₁的位置關(guān)系為（　�。�

• A． 平行
• B． 異面
• C． 相交
• D． 無法判斷

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點的坐標(biāo)，得出向量坐標(biāo)，證明直線PQ與BD₁的對應(yīng)向量的坐標(biāo)關(guān)系得到所求．

解答 證明：如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
設(shè)正方體的棱長為a，則A₁（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0），D₁（0，0，a），
∴$\overrightarrow{DA}$=（a，0，a），$\overrightarrow{AC}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{BD}$=（-a，-a，a）．
∵PQ是直線AC與A₁D的公垂線．
∴設(shè)$\overrightarrow{PQ}$=（x，y，z），
∴$\overrightarrow{PQ}$$•\overrightarrow{D{A}_{1}}$=0，$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{AC}$=0
∴（x，y，z）•（a，0，a）=ax+az=0，
（x，y，z）•（-a，a，0）=-ax+ay=0．
∵a≠0，∴x=y=-z．
∴$\overrightarrow{PQ}$=（x，x，-x），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=-$\frac{a}{x}$$\overrightarrow{PQ}$，
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$，$\overrightarrow{PQ}$共線，
∴PQ∥BD₁，
故選A．

點評 本題考查線線平行，考查向量知識的運用，正確確定向量坐標(biāo)是關(guān)鍵．