Question

1．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn)．
（1）證明：AD⊥D₁F；
（2）證明：面AED⊥面A₁FD₁．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可證明：AD⊥D₁F；
（2）利用向量法結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明：面AED⊥面A₁FD₁．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1…（1分）
則有A（1，0，0），E（1，2，$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（0，$\frac{1}{2}$，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1）…（2分）
（1）$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1），
∵$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{{D}_{1}F}=0$，
∴AD⊥D₁F…（6分）
（2）由以上可知D₁F⊥平面AED，
又D₁F在平面A₁FD₁內(nèi)，
∴面AED⊥面A₁FD₁…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線垂直和面面垂直的判定，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．