Question

16．已知四棱錐P-ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=BC=PC=PD=1，∠APD=90°．
（1）求證：AC⊥平面PCD；
（2）求CD與平面APD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，取AD中點(diǎn)E，連接CE，容易得到CE⊥AD，從而便可得到CD=AC=$\sqrt{2}$，AD=2，所以AC⊥CD，同樣通過(guò)已知條件PA=$\sqrt{3}$，PC=1，AC=$\sqrt{2}$，從而得到AC⊥PC，從而得出AC⊥平面PCD；
（2）容易說(shuō)明PD⊥平面PAC，從而得到平面PAD⊥平面PAC，然后作CN⊥PA，連接DN，從而便得到∠CDN是CD和平面PAD所成的角，要求這個(gè)角的正弦值，只需求出CN：在Rt△PAC中，由面積相等即可求出CN，CD前面已求出，從而可得出$sin∠CDN=\frac{CN}{CD}$．

解答 解：（1）證明：AB⊥BC，AB=BC=1；
∴$AC=\sqrt{2}$；
AD=2，PD=1，∠APD=90°；
∴AP=$\sqrt{3}$，又PC=1；
∴AC²+PC²=AP²；
∴AC⊥PC；
如圖，取AD中點(diǎn)E，連接CE；

AD∥BC，∴CE⊥AD，CE=1；
∴CD=$\sqrt{2}$，AD=2；
∴AC⊥CD，CD∩PC=C；
∴AC⊥平面PCD；
（2）PC=PD=1，CD=$\sqrt{2}$；
∴PD⊥PC；
∠APD=90°，∴PD⊥PA，PA∩PC=P；
∴PD⊥平面PAC，PD?平面PAD；
∴平面PAC⊥平面PAD；
∴過(guò)C作CN⊥PA，并交PA于N，連接DN，則：
CN⊥平面PAD，∠CDN便是直線CD與平面APD所成角；
在Rt△PAC中，AC=$\sqrt{2}$，PC=1，PA=$\sqrt{3}$；
∴$\sqrt{3}•CN=1•\sqrt{2}$；
∴$CN=\frac{\sqrt{6}}{3}$，CD=$\sqrt{2}$；
∴sin∠CDN=$\frac{CN}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴CD與平面APD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查直角三角形邊的關(guān)系，等腰三角形底邊上的中線也是高線，線面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理，直線與平面所成角的概念及找法．