Question

16．（1）已知函數(shù)f（x）=x²（x-a），若f（x）在（2，3）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2a²x+1在[0，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）在（2，3）上單調(diào)遞減，可得f′（x）≤0，化為：a≤$\frac{3}{2}x$，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出最小值．
（2）f′（x）=3x²-6ax+2a²=g（x），由f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0，x∈[0，2]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性圖象與性質(zhì)可得$\left\{\begin{array}{l}{g（2）≥0}\\{2a≥2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{2a≤0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）f（x）=x²（x-a）=x³-ax²，
∴f′（x）=3x²-2ax，
∵f（x）在（2，3）上單調(diào)遞減，
∴f′（x）≤0，x∈（2，3），
化為：a≤$\frac{3}{2}x$，
∴a≤3．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]．
（2）f′（x）=3x²-6ax+2a²=g（x），
∵f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0，x∈[0，2]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（2）≥0}\\{2a≥2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{2a≤0}\end{array}\right.$，
解得：a≥1，或a≤0．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．