Question

6．已知函數(shù)f（x）=（ax²+x+2）e^x（a＞0），其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當a=2時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在[-2，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)極值和導數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）f（x）=（2x²+x+2）e^x，則f′（x）=（2x²+5x+3）e^x=（x+1）（2x+3）e^x…（2分）
令f′（x）=0，$x=-1，-\frac{3}{2}$

x	$（-∞，-\frac{3}{2}）$	$-\frac{3}{2}$	$（-\frac{3}{2}，-1）$	-1	（-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴$f{（x）_{極大值}}=f（-\frac{3}{2}）=5{e^{-\frac{3}{2}}}$，$f{（x）_{極小值}}=f（-1）=3{e^{-1}}$…（7分）
（2）問題轉(zhuǎn)化為f′（x）=[ax²+（2a+1）x+3]e^x≥0在x∈[-2，2]上恒成立；
又e^x＞0即ax²+（2a+1）x+3≥0在x∈[-2，2]上恒成立；      …（9分）
令g（x）=ax²+（2a+1）x+3，∵a＞0，對稱軸$x=-1-\frac{1}{2a}＜0$
①當-1-$\frac{1}{2a}$≤-2，即$0＜a≤\frac{1}{2}$時，g（x）在[-2，2]上單調(diào)增，
∴g（x）_min=g（-2）=1＞0，∴0＜a≤$\frac{1}{2}$                …（12分）
②當-2＜-1-$\frac{1}{2a}$＜0，即$a＞\frac{1}{2}$時，g（x）在[-2，-1-$\frac{1}{2a}$]上單調(diào)減，在[-1-$\frac{1}{2a}$，2]上單調(diào)增，
∴△=（2a+1）²-12a≤0，解得：$1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤a≤1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$＜a≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$           …（14分）
綜上，a的取值范圍是$（0，1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$．                                      …（16分）

點評 本題主要考查導數(shù)的綜合應用，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強．