Question

5．已知M是x²=8y的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)N是其焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上，且滿足|PM|=m|PN|，當(dāng)m取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰在以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的實(shí)軸長為4（$\sqrt{2}$-1）．

Answer 1

分析 過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，則由拋物線的定義，結(jié)合|PM|=m|PN|，可得$\frac{1}{m}$=$\frac{|PB|}{|PM|}$，設(shè)PM的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PM與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義，即可得出結(jié)論．

解答 解：過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，則
由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，
∵|PM|=m|PN|，
∴|PM|=m|PB|
∴$\frac{1}{m}$=$\frac{|PB|}{|PM|}$，
設(shè)PM的傾斜角為α，則sinα=$\frac{1}{m}$，
當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PM與拋物線相切，
設(shè)直線PM的方程為y=kx-2，代入x²=8y，可得x²=8（kx-2），
即x²-8kx+16=0，
∴△=64k²-64=0，
∴k=±1，
∴P（4，2），
∴雙曲線的實(shí)軸長為PM-PN=$\sqrt{{4}^{2}+（2+2）^{2}}$-4=4（$\sqrt{2}$-1）．
故答案為：4（$\sqrt{2}$-1）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PM與拋物線相切，是解題的關(guān)鍵．