Question

2．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，前n項和為S_n，a₁=1，S₄=5S₂，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．且b₁=2，nb_n+1 =2T_n，c_n=$\frac{_{n}}{n}$．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}、{c_n}的通項公式；
（2）比較a_nc_n和b_n的大�。�

Answer 1

分析 （1）①設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由于a₁=1，S₄=5S₂，可得1+q+q²+q³=5（1+q），解得q，即可得出；
②由b₁=2，nb_n+1 =2T_n，利用遞推關(guān)系可得：當(dāng)n≥2時，2b_n=2（T_n-T_n-1），化為$\frac{_{n+1}}{n+1}=\frac{_{n}}{n}$，即可得出；
③利用②可得：c_n=$\frac{_{n}}{n}$=2．
（2）a_nc_n=2ⁿ，b_n=2n．當(dāng)n=1，2時，a_nc_n=b_n．當(dāng)n≥3時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n+…+n+1≥2n+2即可得出．

解答 解：（1）①設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
∵a₁=1，S₄=5S₂，
∴1+q+q²+q³=5（1+q），
化為1+q²=5，解得q=2．
∴a_n=2^n-1．
②∵b₁=2，nb_n+1 =2T_n，
∴當(dāng)n≥2時，2b_n=2（T_n-T_n-1）=nb_n+1-（n-1）b_n，
化為$\frac{_{n+1}}{n+1}=\frac{_{n}}{n}$，
∴$\frac{_{n}}{n}$=…=$\frac{_{1}}{1}$=2，
∴b_n=2n．
③c_n=$\frac{_{n}}{n}$=2．
（2）a_nc_n=2ⁿ，b_n=2n．
當(dāng)n=1，2時，a_nc_n=b_n．
當(dāng)n≥3時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n+…+n+1≥2n+2＞2n．
∴a_nc_n＞b_n．
綜上可得：當(dāng)n=1，2時，a_nc_n=b_n．
當(dāng)n≥3時，a_nc_n＞b_n．

點評 本題查克拉遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．