Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²（x∈R）的圖象過點(diǎn)P（-1，2），且在點(diǎn)P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將P的坐標(biāo)代入f（x）的解析式，得到關(guān)于a，b的一個(gè)等式；求出導(dǎo)函數(shù)，求出f′（1）即切線的斜率，利用垂直的兩直線的斜率之積為-1，列出關(guān)于a，b的另一個(gè)等式，解方程組，求出a，b的值，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，據(jù)題意知[m，m+1]⊆（-∞，-2]∪[0，+∞），列出端點(diǎn)的大小，求出m的范圍．

解答 解：（1）∵y=f（x）過點(diǎn)P（-1，2），且在點(diǎn)P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=2}\\{3a-2b=-3}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=3，
∴f（x）=x³+3x²．
（2）由題意得：f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）＞0，
解得x＞0或x＜-2．
故f（x）的單調(diào)遞增為（-∞，-2]和[0，+∞）．
 即m+1≤-2或m≥0，
故m≤-3或m≥0．

點(diǎn)評 注意函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線斜率；直線垂直的充要條件是斜率之積為-1．